Astronomi

Bagaimana titik Bumi-Matahari Lagrange L1 & L2 menjadi separa stabil memandangkan bulan?

Bagaimana titik Bumi-Matahari Lagrange L1 & L2 menjadi separa stabil memandangkan bulan?


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Saya tahu bahawa titik Bumi-Matahari Lagrange L1, L2, dan L3 tidak dianggap stabil dalam jangka masa yang lebih lama, terutamanya jika dibandingkan dengan L4 dan L5… Tetapi, dengan bulan yang mengorbit Bumi di jalan umum ekliptik, nampaknya bahawa ketika pertama kali bulan masuk di antara Bumi dan objek pada titik L1 atau L2, cukup untuk mengganggu objek itu sedikit, dan bulan lunar berikutnya akan menjadi lebih buruk, dan seterusnya.

Nampaknya jika bulan dikeluarkan dari persamaan, titik L1 dan L2 akan jauh lebih stabil. Dan, sebagai hasil pemikiran ini, saya berpendapat bahawa titik L3 akan jauh lebih stabil daripada L1 dan L2, kerana bulan akan jauh lebih jauh dan tidak penting, sehingga kesannya dapat diabaikan.

Adakah saya salah memikirkan perkara ini? Adakah pengaruh bulan tidak cukup besar untuk menjadi faktor utama? Dan, untuk menjelaskan, saya bercakap secara khusus mengenai L1 dan L2 berkenaan dengan badan ke-3 yang besar, seperti bulan, dan bukannya sistem 2 badan sahaja yang ideal.


Masalah diselesaikan (baik, sebahagian). Sebuah projek di colorado.edu menjadi terperinci, dan diakhiri dengan kesimpulannya,

Titik Lagrange adalah ciri masalah tiga badan menjadi titik keseimbangan dari persamaan pergerakan CRTBP. Titik collinear dianggap tidak stabil dan sebarang gangguan untuk lokasi yang tepat akan menyebabkan keberangkatan secara eksponensial. Oleh itu, gangguan badan keempat harus dipertimbangkan. Kita harus mempunyai perhatian khusus kerana sistem Matahari-Bumi-Bulan adalah satu kes seperti itu. Pandangan awal mengenai kesan Bulan terhadap Bumi-Matahari L1 dan L2 menunjukkan sedikit perhatian. Nisbah jisim berubah sedikit sebanyak 1% dan bahkan dalam keadaan asal Matahari mengalahkan badan-badan yang lain. Kedudukan L1 dan L2 berubah beberapa ribu kilometer yang kecil jika dibandingkan dengan jarak sekitar 1.5 juta km dari Bumi. Melihat komponen pecutan individu tidak membantu. Bulan adalah sekitar 2% pecutan Bumi pada tahap terbaik (terdekat) dan 3/4% pada tahap terburuknya. Menyusun semua hasil saya menyimpulkan bahawa Bulan mempunyai kira-kira 1% kesan yang dilakukan oleh Bumi pada titik-titik Lagrange ini. Ini kelihatan kecil namun dari masa ke masa ini dapat menambah kos penyimpanan stesen. Selain itu, peralatan sensitif seperti James Webb Space Telescope memerlukan orbit yang stabil dan mengetahui gangguan itu akan membantu memastikannya tetap stabil. Ringkasnya, Bulan tidak mempunyai kesan yang besar tetapi aspek masa mesti dipertimbangkan. Kerja selanjutnya harus merangkumi masalah empat badan untuk memahami sepenuhnya perubahan pada titik keseimbangan ini.


Titik L1, L2, L3 adalah tidak stabil. (berhenti penuh) Penyimpangan kecil berkembang secara eksponensial, walaupun dalam masalah tiga badan dengan lingkaran yang sempurna. Pada hakikatnya, kita mempunyai masalah banyak badan yang tidak bulat, apabila (1) titik-titik ini tidak ditentukan dengan jelas dan (2) penyimpangan dari kes sederhana harus dipertimbangkan untuk mendapatkan lintasan yang tepat (dan untuk menyimpan satelit buatan berhampiran titik-titik ini).

Titik L1 & L2 menarik untuk misi angkasa kerana ia tidak stabil, kerana ini menghalang pengumpulan serpihan (semula jadi dan buatan buatan) dan dengan itu mengurangkan kemungkinan berlakunya perlanggaran.


Titik Lagrange

Mata Lagrange dinamakan untuk menghormati ahli matematik Itali-Perancis Joseph-Louis Lagrange. Terdapat lima titik khas di mana jisim kecil dapat mengorbit dalam corak tetap dengan dua jisim yang lebih besar. Titik Lagrange adalah kedudukan di mana tarikan graviti dua jisim besar sama dengan daya sentripetal yang diperlukan agar objek kecil bergerak dengannya. Masalah matematik ini, yang dikenali sebagai "Masalah Tiga Tubuh Umum" dipertimbangkan oleh Lagrange dalam kertas kemenangannya (Essai sur le Probl me des Trois Corps, 1772).

Dari lima titik Lagrange, tiga tidak stabil dan dua stabil. Titik Lagrange yang tidak stabil - berlabel L1, L2 dan L3 - terletak di sepanjang garis yang menghubungkan dua jisim besar. Titik Lagrange stabil - berlabel L4 dan L5 - membentuk puncak dua segitiga sama sisi yang mempunyai jisim besar di bucu mereka. L4 mengetuai orbit bumi dan L5 mengikuti.


Titik Lagrange sistem Bumi-Matahari (tidak ditarik mengikut skala!).

Titik L1 dari sistem Bumi-Matahari memberikan pemandangan matahari yang tidak terganggu dan kini menjadi rumah bagi Satelit Balai Cerap Suria dan Heliospherik. Titik L2 dari sistem Bumi-Matahari adalah rumah kapal angkasa WMAP, rumah Planck semasa, dan rumah masa depan Teleskop Angkasa James Webb. L2 sangat sesuai untuk astronomi kerana kapal angkasa cukup dekat untuk berkomunikasi dengan Bumi, dapat menjaga Matahari, Bumi dan Bulan di belakang kapal angkasa untuk tenaga suria dan (dengan perisai yang sesuai) memberikan pandangan yang jelas tentang ruang dalam untuk teleskop kami. Titik L1 dan L2 tidak stabil pada skala waktu kira-kira 23 hari, yang memerlukan satelit yang mengorbit posisi ini untuk menjalani pembetulan kursus dan sikap secara berkala.

NASA tidak mungkin menemui apa-apa untuk titik L3 kerana ia tetap tersembunyi di belakang Matahari setiap saat. Idea & quotPlanet-X & quot yang tersembunyi pada titik L3 telah menjadi topik yang popular dalam penulisan fiksyen sains. Ketidakstabilan orbit Planet X (pada skala waktu 150 tahun) tidak menghentikan Hollywood daripada mengubah klasik seperti The Man dari Planet X.

Titik L4 dan L5 adalah tempat orbit stabil selagi nisbah jisim antara dua jisim besar melebihi 24.96. Keadaan ini dipenuhi untuk kedua-dua sistem Bumi-Matahari dan Bumi-Bulan, dan bagi banyak pasangan badan lain dalam sistem suria. Objek yang dijumpai mengorbit pada titik L4 dan L5 sering disebut Trojan setelah tiga asteroid besar Agamemnon, Achilles dan Hector yang mengorbit pada titik L4 dan L5 dari sistem Musytari-Matahari. (Menurut Homer, Hector adalah juara Trojan yang dibunuh oleh Achilles semasa pengepungan Raja Agamemnon dari Troy). Terdapat beratus-ratus Trojan Asteroid dalam sistem suria. Sebilangan besar mengorbit dengan Musytari, tetapi yang lain mengorbit dengan Marikh. Di samping itu, beberapa bulan Saturnus mempunyai rakan Trojan. Pada tahun 1956, ahli astronomi Poland Kordylewski menemui kepekatan debu yang besar di titik-titik Trojan sistem Bumi-Bulan. Instrumen DIRBE pada satelit COBE mengesahkan pemerhatian IRAS sebelumnya mengenai cincin debu yang mengikuti orbit Bumi di sekitar Matahari. Keberadaan cincin ini berkait rapat dengan titik-titik Trojan, tetapi ceritanya rumit oleh kesan tekanan radiasi pada butiran debu. Pada tahun 2010 teleskop WISE NASA akhirnya mengesahkan asteroid Trojan pertama (2010 TK7) di sekitar titik Lagrange yang terkemuka di Bumi.

Mencari Titik Lagrange

Cara termudah untuk memahami titik Lagrange adalah dengan menggunakan kerangka acuan yang berputar dengan sistem. Kekuatan yang diberikan pada badan yang sedang istirahat dalam kerangka ini dapat diturunkan dari potensi efektif dengan cara yang sama dengan kecepatan angin yang dapat disimpulkan dari peta cuaca. Daya daya terkuat ketika kontur potensi berkesan paling dekat bersama dan lemah ketika kontur berjauhan.


Plot kontur potensi berkesan (tidak ditarik skala!).


Sistem Bulan Bumi Titik Lagrange

NASA mendefinisikan kawasan ini sebagai tempat di mana badan kecil & # 8211 seperti kapal angkasa & # 8211 dapat tinggal di orbit konsisten antara dua jisim yang sangat besar, seperti dua planet atau planet dan bulan besar.

Semasa berdiri di atas Bumi dan melihat sekeliling, cukup mudah untuk mencari lima titik. L1 berada betul-betul di hadapan Bumi, antara Bumi dan Matahari. Melampaui garis yang sama, L2 berada di belakang Bumi dan L3 di belakang Matahari.

Ketiga lokasi ini pertama kali dikira oleh Leonhard Euler sekitar tahun 1770-an, tetapi seperti namanya, titik-titik Lagrange sebenarnya dinamai ahli matematik Perancis-Itali Joseph Lagrange.

Beberapa tahun selepas Euler, Lagrange juga menemui dua lokasi stabil lain & # 8211 yang dikenali sebagai L4 dan L5 & # 8211 di tempat yang terletak kira-kira 60 darjah dari Bumi dan Matahari.

Negara-negara yang menggunakan ruang angkasa telah mengirim beberapa teleskop ke titik Lagrange dekat Bumi, kerana jaraknya jauh dari gangguan atmosfera dan panas Bumi. Hanya L4 dan L5 lokasi yang stabil, tetapi dengan sedikit bahan bakar tambahan, teleskop dapat dengan senang duduk di mana-mana titik Lagrange selama bertahun-tahun.

Sebilangan penduduk Lagrange yang lebih terkenal termasuk Balai Cerap Suria dan Heliospherik (SOHO) & # 8211 yang mengawasi Matahari di L1 & # 8211 dan Teleskop Angkasa James Webb, yang akan dilancarkan ke L2 sekitar 2018.

NASA mengatakan bahawa ia tidak benar-benar digunakan untuk titik L3 Lagrange dekat Bumi, walaupun telah menjadi sumber beberapa spekulasi psuedo-ilmiah selama beberapa tahun terakhir. & # 8220Ia tetap tersembunyi di belakang Matahari setiap saat, & # 8221 NASA menulis di laman webnya, tetapi menambahkan rujukan lidah di pipi mengenai apa yang boleh bersembunyi di sana. & # 8220Pemikiran tentang & # 8216Planet-X & # 8217 yang tersembunyi di titik L3 telah menjadi topik popular dalam penulisan fiksyen sains. Ketidakstabilan orbit Planet X & # 8217 (pada skala masa 150 tahun) tidak menghentikan Hollywood daripada menukar klasik seperti The Man From Planet X & # 8221 yang ditulis agensi itu.

Walaupun kita paling sering memikirkan lima titik Lagrange yang terletak di sekitar Bumi, titik-titik ini adalah mungkin di antara mana-mana cakerawala yang cukup besar. Musytari, misalnya, mempunyai asteroid pada titik L4 dan L5 dengan Matahari. Ini dipanggil asteroid Trojan.

Ahli astronomi Jerman Max Wolf melihat asteroid pertama pada tahun 1906. Lebih dari 100 tahun kemudian, pada tahun 2012, NASA & # 8217s Wide-field Infrared Survey Explorer mendedahkan bahawa badan-badan ini kebanyakan berwarna burgundy, dan memantulkan cahaya matahari yang sedikit.


"James Webb sebenarnya tidak akan mengorbit Bumi - sebaliknya akan berada di titik Bumi-Matahari L2 Lagrange, sejauh 1.5 juta km" - Apa maksudnya?

Saya telah membaca mengenai Teleskop James Webb dan berjuang untuk membungkus kepala saya dengan tepat apa maksud "duduk di titik Lagrange".

Adakah ini bermaksud ia akan mengorbit Matahari, mengikuti jalan yang hampir sama dengan Bumi, tetapi tetap di tempat yang sama dari perspektif bumi?

Teleskop James Webb tidak akan mengorbit bumi, sebaliknya akan mengorbit matahari.

Bayangkan melukis garis lurus dari matahari ke bumi dan kemudian memanjangkan garis ini sejauh 1.5 juta kilometer. Ini adalah titik L2 Lagrange.

Sama seperti bumi mengorbit matahari dalam ≈ 365 hari, teleskop James Webb juga akan mengorbit matahari dalam ≈365 hari.

Ini bermaksud bahawa pada titik L2 Lagrange, bumi akan sentiasa berada di antara teleskop dan matahari. Dan jarak antara bumi dan teleskop akan tetap berterusan sehingga selalu berada di sebelah kita

Wikipedia mempunyai gambarajah gif yang bagus untuk menerangkan perkara ini secara visual:

Saya harap ini menjawab soalan anda :)

Inilah jawapan yang saya mahukan, terima kasih!

sebaliknya akan mengorbit matahari.

Tidak cukup. Titik Bumi-Sun L1 / L2 berada (untuk semua tujuan praktikal) di mana graviti Bumi & # x27 atau Matahari tidak mendominasi. Yaitu, terletak di pinggir Bumi & Bukit Sphere. Sekiranya satelit berada lebih dekat ke Bumi, satelit akan mengorbit Bumi, dan jika berada lebih jauh, satelit akan mengorbit Matahari. Pada L1 / L2, ia mengorbit tidak bergerak mengelilingi titik Lagrange dalam orbit separa stabil.

Bukankah seperti mengatakan bulan tidak mengorbit bumi, ia benar-benar mengorbit matahari?

Titik L2 Lagrange adalah sesuatu yang sebenarnya dapat dikelilingi, anda tidak hanya meletak kereta di tengah - fikirkan L2 seperti asteroid kecil yang tidak dapat dilihat. Kerana tidak ada masalah sebenarnya untuk mengorbit, dan L2 pada dasarnya adalah penyatuan persamaan matematik penjumlahan, perkara seperti kedudukan Venus dan Mar & # x27 akan selalu menariknya ke arah yang berbeza, sebab itulah ia tidak pernah stabil.

Itulah sebabnya mengapa anda perlu menghabiskan bahan bakar di stesen untuk menjaga pergerakan kerana anda akan keluar dari orbit perlahan dari masa ke masa.

Wikipedia mempunyai artikel yang baik mengenai Lagrange Points dengan rujukan gambar.

Versi ringkasnya ialah bahawa dinamika orbital tidak seperti dipotong dan kering kerana & quot; mengutip Matahari & & quot; yang berbeza dari & quot; mengutip Bumi & & quot; duduk di Lagrange Point adalah kira-kira separuh di antara mereka.

Adakah ini bermaksud ia akan mengorbit Matahari, mengikuti jalan yang hampir sama dengan Bumi, tetapi tetap di tempat yang sama dari perspektif bumi?

Titik L2 berada di garis Matahari-Bumi. Jadi dari sudut Bumi & ia tidak bergerak tetapi mengambil masa 1 tahun untuk mengelilingi Bumi.

JWST sebenarnya tidak tepat pada titik L2, tetapi akan mengorbit L2 dengan jangka masa 6 bulan. L2 berjarak 1500 Mm dari bumi dan orbit JWST & # x27s mempunyai radius sekitar 800 Mm, jadi ia akan kelihatan bergerak jauh ke belakang.

Jadi adakah titik-titik Lagrange berubah ketika Bumi bergerak mengelilingi Matahari?

JWST sebenarnya tidak tepat pada titik L2, tetapi akan mengorbit L2 dengan jangka masa 6 bulan.

Mengapa, tidak mungkin tetap diam pada titik sebenarnya?

Anda mendapat jawapan yang baik, tetapi saya ingin menerangkan mengapa titik L2 wujud.

Semasa anda berada di orbit di sekitar badan, setiap jarak orbit terikat dengan tempoh orbit. Untuk menjelaskan, mari kita melihat Matahari dan planet-planet yang mengorbitnya. Bumi mengorbit Matahari setiap 365.25 hari. Tetapi apa-apa objek yang jaraknya sama dengan Matahari dengan Bumi akan mengorbit dalam jangka masa yang sama. Anda boleh berada di lokasi dan orbit Bumi dengan lebih cepat atau lebih perlahan. Dan semakin dekat anda dengan Matahari, semakin cepat anda mengorbit. Itulah sebabnya Mercury mengorbit Matahari dalam 88 hari sementara Jupiter memerlukan 12 tahun untuk melakukannya.

Sekarang, jika Matahari lebih besar, semua tempoh orbit ini akan bertambah cepat. Jadi, Bumi akan mengorbit Matahari dalam waktu kurang dari 365 hari, tetapi peraturan yang sama berlaku, Mercury harus mengorbit paling cepat, Neptunus paling lambat.

Jadi, bagaimana James Webb berada lebih jauh dari Bumi dan masih mengorbit Matahari setiap 365.25 hari? Tidak & # x27t itu bertentangan dengan apa yang saya katakan? Ini kerana titik L2 secara langsung sesuai dengan Matahari dan Bumi, jadi graviti dari Bumi & quot; ditambahkan & quot ke graviti dari Matahari. Jisim Bumi & # x27s pada dasarnya ditambahkan ke Matahari & # x27s. Jadi, seperti yang saya nyatakan di atas, jika Matahari lebih besar, orbit akan berlaku lebih cepat, atau dalam hal ini, anda boleh berada lebih jauh dan masih mengorbit pada kadar yang sama dengan Bumi (sekarang, penting untuk diperhatikan bahawa James Webb bergerak lebih cepat dari Bumi, kerana menyapu lingkaran yang lebih besar dalam jangka masa yang sama).


L1
Semakin dekat objek dengan Matahari, semakin cepat ia bergerak. Jadi, sebarang kapal angkasa yang mengelilingi Matahari di orbit yang lebih kecil daripada Bumi akan segera mengalahkan planet kita. Namun, terdapat celah: jika kapal angkasa diletakkan tepat di antara Matahari dan Bumi, graviti Bumi menariknya ke arah yang bertentangan dan membatalkan sebahagian tarikan Matahari. Dengan tarikan yang lebih lemah ke arah Matahari, kapal angkasa memerlukan lebih sedikit kelajuan untuk mengekalkan orbitnya, sehingga dapat melambat. Sekiranya jaraknya tepat - kira-kira seperseratus jarak ke Matahari - kapal angkasa akan bergerak dengan cukup perlahan untuk mengekalkan kedudukannya di antara Matahari dan Bumi. Ini adalah L1, dan merupakan posisi yang baik untuk memantau Matahari sejak aliran zarah berterusan dari Matahari, angin suria, mencapai L1 sekitar satu jam sebelum sampai ke Bumi. SOHO, pengawas solar ESA / NASA diposisikan di sana.

Kesan serupa dengan yang menyebabkan L1, juga berlaku di sisi 'malam' Bumi di luar orbit Bumi. Kapal angkasa yang ditempatkan di sana lebih jauh dari Matahari dan oleh itu harus mengorbitnya lebih perlahan daripada Bumi tetapi tarikan tambahan planet kita menambah kapal Matahari, dan membolehkan kapal angkasa bergerak lebih pantas, seiring dengan Bumi. L2 terletak 1.5 juta kilometer tepat di 'belakang' Bumi seperti yang dilihat dari Matahari.

L2 adalah tempat yang bagus untuk melihat Alam Semesta yang lebih besar. Kapal angkasa di sini tidak perlu mengorbit Bumi dan terhindar dari menyapu masuk dan keluar dari bayang-bayang planet kita, memanaskan dan menyejukkan badan, dan memutarbelitkan pandangannya. ESA mempunyai sejumlah misi yang sedang, atau akan, memanfaatkan wilayah ini: Herschel, Planck, Gaia dan Teleskop Angkasa James Webb.

L3 terletak di belakang Matahari, bertentangan dengan Bumi, tepat di luar orbit planet kita. Objek di L3 tidak dapat dilihat dari Bumi. Ia menawarkan potensi untuk memerhatikan bahagian paling jauh Matahari.

Kapal angkasa di L1, L2, atau L3 adalah 'meta-stable', seperti bola yang duduk di atas bukit. Sedikit dorongan atau benjolan dan ia mula bergerak jauh, jadi kapal angkasa mesti menggunakan roket yang kerap untuk tetap berada di 'orbit halo' yang disebut di sekitar titik Lagrangian.


3 Jawapan 3

Untuk menambah jawapan lain, titik Lagrange L1-L2 tidak stabil kerana mereka perlu mengikuti kecepatan jejari kedua badan induk ketika mereka mengorbit satu sama lain, dalam kes kita Bumi berada di orbit heliosentris di sekitar Matahari, tetapi tidak satupun dari mereka betul-betul pada ketinggian orbit yang sepadan dengan halaju radial mereka (terlalu perlahan di L1 dan terlalu pantas di L2). Oleh kerana orbit Bumi tidak betul-betul bulat (eksentrisiti orbit

0.017), ketinggian mereka juga akan sedikit berubah dalam satu tempoh orbit. Ini kurang berlaku dengan L4-L5, dan boleh dikatakan juga L3, bergantung pada eksentrisitas orbital badan induk, dan di sinilah kita mungkin menemui keluarga asteroid Trojan dan Hilda. Semua titik Lagrange ini juga dapat terganggu oleh pengaruh graviti cakerawala lain dalam sistem, misalnya orbit Musytari dan bahkan Bulan jika terdapat titik L1-L2 Matahari-Bumi. Dan ini tentu saja mengenai ketidakstabilan vektor halaju di sepanjang badan induk M1. Orthogonal ke arahnya dan ke arah badan M1 dan M2, ia hanyalah titik tolak ke arah M1 atau M2.

Sedikit memudahkan, apa yang saya bicarakan ialah halaju heliosentris (menggunakan $ v_o lebih kurang <2 pi a lebih T> $) akan menjadi $ teks lebih kurang 29.49 teks $ dan $ teks lebih kurang 30.08 teks $, dengan kelajuan orbit Bumi ialah $ v_o kira-kira 29.78 teks $. Perbezaan ini akan dipertahankan oleh titik pelana L1-L3, tidak terlalu mirip dengan melayari di hujung gelombang. Sebarang pergerakan lateral akan memberi keseimbangan ke arah salah satu daripada dua badan induk (M1 atau M2).

Oleh itu, orbit satelit titik Lagrange perlu dikendalikan, apa yang biasanya disebut sebagai pemeliharaan stesen orbit. Kesan gangguan dan ketidakstabilan ini dapat diimbangi dengan meletakkan satelit titik Lagrange ke orbit Halo atau Lissajous dan menggunakan penyisipan orbit tepat, tetapi tidak juga stabil tanpa menggunakan pendorong dan pembetulan pada orbitnya. Sebarang serpihan orbit atau satelit yang tidak berfungsi akhirnya akan berpusing ke arah Bumi (lihat kemas kini jawapan ini, tetapi mereka mempunyai momentum orbit terlalu banyak untuk benar-benar jatuh ke arah Matahari, kerana tempoh orbit mereka benar-benar sepadan dengan Bumi, tetapi separa utama mereka paksi ke arah Matahari tidak sejauh kira-kira ± 1.5 juta kilometer atau kira-kira ± 1%).

TLDR: Semua ini bermaksud bahawa titik L1 dan L2 pada dasarnya akan bebas dari serpihan orbit jangka panjang. Dan dengan L3-L5, kecuali badan-badan di sana terbentuk dari cakera protoplanet yang sama dan berkongsi halaju radial yang sama yang diperlukan untuk tetap berada pada ketinggian itu, hampir tidak ada kemungkinan badan lain dengan tenaga orbit yang berbeza jauh dapat ditangkap pada titik-titik tersebut. Tetapi jika kita sengaja meletakkan satelit di sana, serpihan dari mereka akan tinggal di sana lebih lama daripada dengan titik L1 dan L2 (dan mungkin L3, seperti yang disebutkan sebelumnya).

Edit: Nampaknya, saya telah salah membaca pertanyaan pada awalnya dan menjawab untuk titik ketinggian Matahari-Bumi dan bukannya titik Bumi-Bulan. OK, tidak ada masalah, kebanyakan masalah tetap sama dalam teori, hanya titik pelana L1-L3 yang lebih stabil. Eksentrisiti orbit bulan adalah

0.055, jadi titik L1-L3 bergerak lebih jauh di sepanjang paksi Bumi-Bulan. Rata-rata, EML1 berjarak 326.380 km dari Bumi dan 58.019 km dari Bulan, masing-masing EML2 448.914 km dan 64.515 km, dan halaju mereka (rata-rata)

0.87 dan 1.2 kali purata kecepatan orbit Bulan (1.022 km / s). Mereka lebih terganggu, terutama oleh Matahari sendiri dan kerumitan orbit Bulan berbanding dengan Matahari (walaupun tidak pernah melengkung dengan sendirinya, bertentangan dengan kepercayaan popular).

Berikut adalah gambar yang bagus yang menggambarkan titik jurang Bumi-bulan:

Titik Lagrange untuk sistem Bumi-bulan. Kredit: David A. Kring, Pusat Sains dan Penerokaan LPI-JSC

Dan ini adalah bagaimana orbit Lissajous dari ARTEMIS (Percepatan, Penyambungan Semula, Turbulensi dan Elektrodinamik Interaksi Bulan dengan Matahari) orbit EML1 dan EML2 kapal angkasa P1 misi seperti:

Pandangan dari atas orbit ARTEMIS ketika mereka melakukan peralihan dari orbit Lissajous berbentuk ginjal di kedua-dua sisi
bulan mengorbit mengelilingi bulan. Kredit: Pusat Penerbangan Angkasa NASA / Goddard

Ilustrasi orbit, pandangan sisi atau gerhana pembebasan Artemis-P1. Kredit: NASA / Goddard


Kestabilan

Walaupun titik L1, L2, dan L3 secara nominal tidak stabil, ternyata ada kemungkinan untuk mencari (tidak stabil) orbit berkala di sekitar titik-titik ini, sekurang-kurangnya dalam masalah tiga badan. Orbit berkala ini, disebut sebagai orbit & quothalo & quot, tidak wujud dalam sistem dinamik badan penuh seperti Sistem Suria. Walau bagaimanapun, orbit kuasi-berkala (iaitu terikat tetapi tidak tepat berulang) mengikuti lintasan lengkung Lissajous memang wujud dalam sistem n-badan. Orbit Lissajous kuasi berkala inilah yang digunakan oleh kebanyakan misi Lagrangian hingga kini. Walaupun mereka tidak stabil sepenuhnya, usaha yang agak sederhana dalam menjaga stesen dapat memungkinkan kapal angkasa untuk tetap berada di orbit Lissajous yang diinginkan untuk jangka masa yang panjang. Ternyata, sekurang-kurangnya dalam misi Sun-Earth-L1, sebenarnya lebih baik meletakkan kapal angkasa dalam amplitud Lissajous (100,000–200,000 km atau 62,000–124,000 mi) yang besar, daripada meletakkannya di titik Lagrangian, kerana ini membuat kapal angkasa tidak bergerak langsung dari Matahari dan Bumi, sehingga mengurangkan kesan gangguan matahari pada komunikasi Bumi-kapal angkasa. Begitu juga, orbit Lissajous amplitud besar di sekitar L2 dapat menjauhkan probe dari bayangan Bumi dan oleh itu memastikan pencahayaan panel surya yang lebih baik.

Contohnya adalah mengenai Bumi-Matahari, tetapi untuk Bulan-Bumi sama, hanya lebih kecil. Ini bermaksud bahawa di sekitar titik-titik ini anda boleh mempunyai orbit semi-stabil yang jauh lebih besar daripada kapal angkasa yang anda mahukan. Selagi anda menyimpan jisim yang tidak relevan dibandingkan dengan jisim Bumi dan Bulan, dan tidak cukup untuk membuat graviti yang dapat diukur atau daya lain di antara mereka, tidak ada batasan praktikal untuk berapa banyak yang anda boleh muat.

Hanya perhatikan bahawa semakin banyak, semakin banyak bahan bakar yang anda gunakan untuk menjauhkan diri, mengelakkan saling membayangi, dan menjaga & quot; orbit & quot - tetapi perbezaannya tidak seharusnya dramatik.

Untuk L4 dan L5, sejauh yang saya fahami, orbit seperti itu tidak begitu mudah, bahkan mustahil, dan anda perlu membuat semua kapal anda saling mengesan secara aktif dan menggunakan bahan bakar hampir selalu. Namun, ada kemungkinan ada awan perkara antarplanet di sana. Sekiranya awan dapat stabil dalam jangka panjang, apa sahaja yang anda boleh masukkan ke dalam awan itu juga. Had praktikal agak sukar untuk saya kirakan - semakin sedikit bahan bakar yang ingin anda belanjakan, semakin hampir dengan titik yang anda mahukan dan / atau semakin tinggi dan semakin rendah kestabilan yang harus anda terima.


9 Jawapan 9

Apabila anda melihat dinamika dalam kerangka rujukan berputar, terdapat 4 daya yang bertindak pada zarah: dua tarikan graviti dari badan besar, sentrifugal menjauh dari pusat putaran (terletak di antara objek besar) dan daya Coriolis .

Tiga daya pertama bergantung pada kedudukan zarah, dan dapat diturunkan dari potensi (yang juga bergantung pada kedudukan), yang lengkung levelnya ditunjukkan dalam gambar yang disajikan dengan pertanyaan. Potensi ini mempunyai maksima tempatan pada L4 dan L5.

Kekuatan Coriolis bergantung pada halaju zarah: ia berserenjang dengannya, terkandung dalam bidang gerakan dan berkadar dengan kelajuan. Ini melengkung pergerakan zarah ke kanan (jika badan besar dan sistem rujukan berputar berlawanan arah jarum jam, itulah yang anda lihat di Sistem Suria kita jika anda berdiri di kutub Utara Bumi).

Sekiranya zarah yang diletakkan di L4 cuba meninggalkan titik dengan kelajuan ringan, kekuatan Coriolis melengkung lintasannya. Lintasan terlalu keriting untuk sampai ke mana sahaja. Lihat animasi di http://demonstrations.wolfram.com/OrbitsAroundTheLagrangePointL4/.

Sudah tentu ini tidak membuktikan bahawa zarah itu akan berada di dekat L4 selama-lamanya. Saya tidak tahu bukti. Saya telah melihat beberapa pengiraan yang menunjukkan bahawa persamaan dinamik yang diluruskan pada L4 stabil jika nisbah jisim objek besar cukup besar, tetapi ini juga tidak mencukupi untuk membuktikan kestabilan dalam masalah tidak linear.

Saya akan yakin bahawa keseimbangan itu stabil jika saya ditunjukkan bahawa terdapat kuantiti yang terpelihara (bergantung pada kedudukan dan kelajuan) yang mempunyai ekstrem lokal yang ketat pada titik ruang fasa (kedudukan = L4, kelajuan = 0).

"Tenaga" (potensi yang dibincangkan di atas + tenaga kinetik yang diukur dalam sistem rujukan bukan inersia kami) dijimatkan, kerana daya Coriolis tegak lurus dengan lintasan, jadi ia tidak melakukan kerja (sebenarnya, dalam mekanik Lagrangian ia berasal dari potensi yang bergantung pada kedudukan dan kelajuan zarah). Tetapi kuantiti ini tidak mempunyai titik ekstrim pada titik keseimbangan kita, kerana potensinya mempunyai maksimum lokal pada L4 dan istilah kinetik adalah minimum ketika kecepatannya adalah 0.

Oleh itu, saya tidak dapat membuktikan bahawa keseimbangannya stabil.

Inilah cara lain untuk melihatnya. Biarkan $ M_1 $, $ M_2 $, $ M_3 $ menjadi tiga kumpulan kami. Dalam tiga masalah badan yang sedang kita pertimbangkan, keseluruhan bingkai yang mengandungi $ M_1 $, $ M_2 $ dan $ M_3 $ berputar.

Anda betul berfikir bahawa jika bingkai itu diperbaiki maka titik L4 dan L5 akan berlaku tidak stabil. Lagipun jika anda mengganggu $ M_3 $ dari L4 atau L5 maka ia seharusnya hanya menuruni bukit yang berpotensi.

Tetapi ada kekuatan lain di sini. Kerana bingkai berputar ada kekuatan fiktif yang disebut gaya Coriolis yang akan anda rasakan. Ini adalah kekuatan yang sama yang membuat taufan berputar menjadi lingkaran ketika dilihat dari angkasa.

Apabila anda mengambil kira kekuatan Coriolis, L4 dan L5 menjadi titik tetap stabil. Maksudnya, jika anda mengganggu $ M_3 $ dari L4 sedikit, ia akan tetap berada pada jarak yang terganggu dan mengorbit titik L4.

Sekiranya ada yang ingin melihat matematiknya, lihat artikel berguna ini.

Seperti yang dikomen orang lain, termasuk OP, potensi efektif (yang terdiri daripada graviti & amp; amp; amp; amp; amp; amp; centrifugal potensi) $ V

- frac <| z_1 |> - frac <| z_2 |> - frac < Omega ^ 2 | z | ^ 2> <2> tag <1> $ dalam satah orbit $ mathbb^ 2 cong mathbb$ mempunyai maksimum global pada titik Lagrange $ L_4 $ dan $ L_5 $, $ mulaz_1

- frac<2> pm frac < sqrt <3> iR> <2>. End tag <2> $ Saya di sini menggunakan notasi yang sama dengan jawapan Phys.SE saya di sini: $ beginz_1

frac. tamat tag <3> $ Biasanya zarah ujian tidak mahu mencapai tahap maksimum global! Namun, kita tidak boleh melupakan pasukan Coriolis.

Penyataan utama. Apabila zarah uji cuba meninggalkan $ L_4 $ atau $ L_5 $, kekuatan Coriolis akan mencegahnya melalui pesongan jika salah satu nisbah jisim $ m_1 / m_2 $ atau $ m_2 / m_1 $ melebihi $ frac <25> <2> + frac <3> <2> sqrt

Dalam jawapan ini, saya ingin mengira keadaan nisbah jisim ini (4), yang juga disebut di Wikipedia.

Hessian potensi efektif (1) adalah $ mulaH ^

-3 Omega ^ 2 qquad teks qquad det (< bf H>)

Kami sekarang menggunakan teorema berikut $ ^ 1 $ yang disebut dalam Ruj. 1:

Dua syarat pertama dipenuhi: $ C

0. tag <8> $ Keadaan ketiga berbunyi $ 0

27 kiri ( epsilon ^ 2_2- epsilon_2 + frac <1> <27> kanan) tag <9>. $ Akar persamaan kuadratik $ D = 0 $ ialah $ frac

kiri < bermula25/26, cr 1/26. Tamat kanan. tag <10> $ Ini membawa kepada keadaan (4). $ Kotak $

$^1$ Bukti teorema: EOM linier pada titik Lagrange $ < bf z> = < bf 0> $ dalam satah orbital $ mathbb^ 2 $ dibaca

di mana istilah pertama pada rhs. adalah kekuatan Coriolis. Hessian adalah matriks simetrik sebenar, dan oleh itu boleh diagonalisasikan dengan 2 paksi utama. Selepas kemungkinan putaran koordinat $ < bf z> mapsto e ^< bf z> $, kita mungkin menganggap bahawa orang Hessian

adalah pepenjuru. (Putaran berubah dengan istilah Coriolis (11) dan meninggalkan 3 keadaan dalam teorema invarian!) EOM (11) adalah 2 ODE homogen orde 2 yang digabungkan dengan pekali berterusan. Persamaan ciri mereka ialah persamaan urutan ke-4 $ 0

kiri | bermula lambda ^ 2 + H_1 & amp -2 Omega lambda cr 2 Omega lambda & amp lambda ^ 2 + H_2 akhir betul |

( lambda ^ 2) ^ 2 + B lambda ^ 2 + C tag <13>, $ yang mempunyai 4 akar $ lambda ^ 2

frac <-B pm sqrt> <2> tag <14>. $ Persamaan. (13) adalah persamaan pesanan ke-2. dalam $ lambda ^ 2 $. Penyelesaian untuk 2 koordinat $ z ^ 1 $ dan $ z ^ 2 $ adalah gabungan linear eksponen $ e ^ < lambda t> $, di mana $ lambda $ adalah akar. Keadaan kestabilan ialah $ < rm Re> ( lambda) leq 0 $ untuk semua 4 punca.

Walau bagaimanapun kerana simetri dalam persamaan. (13), jika $ lambda $ adalah akar, begitu juga $ - lambda $. Jadi syarat kestabilan adalah bahawa $ < rm Re> ( lambda) = 0 $ untuk keempat-empat punca, iaitu $ lambda $ adalah khayalan. Atau setara, bahawa $ lambda ^ 2 leq 0 $ tidak positif untuk keempat-empat punca.

Ini hanya boleh dilakukan sekiranya persamaan $ D geq 0 $ dalam diskriminasi. (14) tidak negatif, iaitu keadaan ke-3 dalam teorema.

Keadaan pertama & ke-2 $ C, B

0 tag <15> $ ikuti dari fakta terkenal bahawa $ C

lambda ^ 2 _ ++ lambda ^ 2_- tag <16> $ dalam urutan ke-2 (13) adalah produk dan jumlah akarnya, masing-masing. $ Kotak $

Saya fikir ada beberapa penjelasan yang baik di sini, tetapi saya akan cuba menambahkan penjelasan yang sangat mudah dan mudah-intuitif.

Pertama, mari kita bersetuju dengan beberapa konvensyen. Katakan Bumi bergerak berlawanan arah jarum jam di sekitar Matahari. Ia berada dalam orbit bulat pada jarak $ R $ (dari barycenter) dengan halaju sudut $ Omega $.

Kami akan memberi tumpuan kepada L4. Mula-mula andaikan anda mula betul-betul di L4, bergerak dengan kelajuan yang tepat untuk tinggal di sana. Ini tentunya keseimbangan yang tidak memerlukan kekuatan untuk dipertahankan - kita akan membiarkan masalah kestabilan sahaja. Apakah kepantasan yang anda lalui semasa berada di L4? Nah, halaju sudut anda mestilah kepantasan corak $ Omega $, yang bermaksud dalam bingkai korotasi (bingkai di mana Matahari dan Bumi tetap sama seperti yang digambarkan) anda tidak bergerak sama sekali. Dalam kerangka inersia dengan barycenter sistem dalam keadaan rehat, anda mesti mempunyai kelajuan $ Omega R $, dan ia diarahkan sepenuhnya ke arah azimuthal - iaitu, bersinggungan dengan bulatan orbit anda.

Sekarang anggap anda berpindah dari kedudukan keseimbangan yang selesa. Untuk kekhususan, kami menganggap anda sekarang mendapati diri anda sedikit lebih dekat dengan barycenter anda dipindahkan di sepanjang garis yang menghubungkannya ke L4. Also, you didn't lose too much kinetic energy (to be made precise in the next paragraph). This is important. If something, say a viscous drag, keeps draining your total energy, you will mempunyai to fall into a lower part of the potential surface, and you won't be able to stay near L4.

Another simplifying assumption: your momentum is still in the same direction as it was when you were blissfully sitting at L4. That is, it is entirely azimuthal. So what's your situation now. Well, your new distance from the barycenter is $R - Delta R$. To keep up with the pattern speed (i.e., to not be moving with respect to the Earth and L4 in that diagram), you need an azimuthal speed of $Omega (R - Delta R) < Omega R$. You don't need as much speed, and hence you don't need as much kinetic energy, to keep up with the rotation. You originally had a specific kinetic energy (kinetic energy per unit mass) of $(1/2) Omega^2 R^2$, and now as long as you have more than $(1/2) Omega^2 (R - Delta R)^2$, you'll advance ahead of the pattern.

So referring to the figure, you were displaced to somewhere below and to the left of L4, and now you'll be moving up and to the left, at least initially. Just like any test mass with a tangential velocity too great for a circular orbit, you'll be moving outward. In the rotating frame, this could be construed as a manifestation of the Coriolis force. [Aside: The Coriolis force acts in the direction $-vec imes vec$, and with $vec$ pointing up out of the page and $vec$ (your velocity in the rotating frame) pointing azimuthally counterclockwise, you can see this will cause an outward-directed acceleration.] But this is more obvious in the inertial frame, where you're now going too fast for the Sun's gravity to bend your path into a circle.

So what happens? As you advance ahead of the pattern (your angular velocity is greater than $Omega$), you also are pushed outward. Eventually you find yourself at a distance $R$ again, but now you're ahead of (counterclockwise of, up and to the left of) L4. The radial "force" will vanish somewhere around here, but remember you have inertia, whether your reference frame is inertial or not! So you'll coast outward, to distances from the barycenter greater than $R$. On this side of $R$, however, everything is reversed. You don't have enough speed to keep up with an angular velocity $Omega$, so you fall behind. You are now moving counterclockwise in that rotating frame, looping around the outside of L4. Of course, because you're going too slow to keep a circular orbit (described in the inertial frame), or because there's an inward-directed Coriolis force (described in the rotating frame), you're accelerated inward. Eventually you'll move around behind L4 and return somewhere near where you started this journey just after getting displaced.

The orbits can be complicated to describe analytically, but hopefully this shows where the "forces" come into play, and where they're directed. You end up tracing a path that goes clockwise around L4 (note all my other uses of "clockwise"/"counterclockwise" have been with respect to the barycenter).

One final note: In the rotating frame this is truly a dynamics problem, where you can't get the motion just by differentiating a simple potential. Note that we started to do that, and that's what lead to the confusion. In addition to the gravitational potentials induced by the two masses, we added a term to the effective potential (the function whose contours are plotted in the diagram) to take care of centrifugal force: $ Phi_ ext(vec) = -G left(frac-vec_odot vert> + frac-vec_oplus vert> + frac<2lvert vec_oplus-vec_odot vert^3> lvert vec vert^2 ight), $ where $vec$ is the two-dimensional vector in the plane of the system with origin at the barycenter. (Binney & Tremaine's Galactic Dynamics derives this in a roundabout aside there are probably more direct treatments.) We can only stop here, however, if we only want to consider forces on particles at rest in the rotating frame. As pointed out in another post, the centrifugal force ($-vec imes vec imes vec$) isn't the only fictitious force we have to worry about. If the test object has a velocity with respect to the rotating frame, as in the case at hand, we have the Coriolis force ($-2vec imes dot>$), which we did not account for in setting up the effective potential. The reason is it's not just a function of 2-D position space, but of the whole 4-D phase space. There's one other common fictitious force that fortunately we didn't have to consider: the Euler force ($-dot> imes vec$). This would only come into play if the pattern speed were changing (say if the Earth had some additional acceleration, perhaps from being in an eccentric orbit).


Tonton videonya: #1 Contoh Soal Persamaan Lagrange (Disember 2022).