Astronomi

Dua orbit badan berjisim sama

Dua orbit badan berjisim sama


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Dengan dua jisim sama jisim dalam orbit elips:

Saya tahu mereka akan mengorbit mengenai pusat jisim yang sama, iaitu barycenter. Tetapi, adakah halaju mesti sama besarnya dan berlawanan arah (normal ke R ketika R jaraknya antara satu sama lain) agar orbit stabil? Saya rasa, jika halaju satu jisim berbeza dengan yang lain, hal itu akan mewujudkan barycenter yang bergerak di mana kedua-dua jisim itu akan bertembung atau melempar yang lain dari orbit, tetapi saya tidak dapat menemui pengesahan matematik ini .


Saya tahu mereka akan mengorbit mengenai pusat jisim yang sama, iaitu barycenter. Tetapi, adakah halaju mesti sama besarnya dan berlawanan arah (normal ke R ketika R jaraknya antara satu sama lain) agar orbit stabil?

Halaju orbit tidak semestinya dan pada amnya tidak sama besarnya. Yang sama ialah halaju sudut, itulah kadar sudut (mis., dalam $ rad / sec $) bahawa dua badan akan mengorbit barycenter biasa mereka. Jejari orbit, $ r $, halaju orbit, $ v $, dan halaju sudut, $ omega $, dihubungkan oleh persamaan

$$ omega = v / r $$

Perhatikan bahawa ini semua adalah jumlah skalar dan $ v $ boleh dianggap sebagai komponen vektor halaju yang berserenjang dengan $ r $. Oleh kerana pemeliharaan momentum sudut menunjukkan bahawa $ omega $ tetap berterusan untuk setiap badan, secara individu, maka kita tahu bahawa $ v / r $ juga mesti tetap yang menyiratkan bahawa badan yang mengorbit lebih jauh dari barycenter semestinya mengorbit lebih cepat dan naib sebaliknya.

Sudah tentu penjelasan yang lebih mudah berfungsi untuk dua badan. Sebaik sahaja anda membuang lebih dari dua badan, perkara menjadi lebih rumit dan barycenter dapat bergerak, menyebabkan pergerakan yang lebih kompleks.

Saya fikir, jika halaju satu jisim berbeza dengan yang lain, ia akan mewujudkan pusat barycenter di mana kedua-dua jisim itu akan bertembung atau melempar yang lain dari orbit

Ini adalah soalan yang berbeza secara halus. Sekiranya salah satu daripada dua jisim mempunyai kecepatan orbit yang berbeza-beza, itu menunjukkan bahawa ia memperoleh atau kehilangan tenaga dengan beberapa mekanisme. Ini boleh berlaku melalui interaksi pasang surut seperti yang berlaku untuk Bumi dan Bulan kita. Seperti yang dinyatakan di atas, halaju sudut harus tetap konstan yang menyiratkan bahawa badan yang kecepatannya berubah juga harus berpindah ke arah atau jauh dari barycenter, yang berpotensi mengakibatkan perlanggaran atau pelarian. Oleh kerana halaju orbit Bulan dipercepat melalui interaksi pasang surut, ia bergerak lebih jauh sebagai hasilnya. Contoh lain mungkin dua lubang hitam memancarkan gelombang graviti ketika mereka mengorbit yang menyebarkan tenaga dan dengan itu mereka mengorbit halaju, menyebabkan mereka semakin dekat sehingga mereka bertembung.


G sangat kecil, dalam unit metrik: G = 6.7x10 -11 Newton meter 2 / kilogram 2 The Newton ialah satuan daya metrik: 4.41 Newton = 1 paun G mesti diukur secara eksperimen. [CATATAN: G adalah "pemalar gandingan graviti", yang menetapkan ukuran daya antara dua objek besar yang dipisahkan oleh jarak tertentu. Kerana graviti adalah yang paling lemah dari 4 kekuatan asas alam, G sukar diukur secara eksperimen dengan ketepatan apa pun. Newton tidak mengetahui nilai G, tetapi dia dapat menimbulkan masalahnya dengan cara yang G keluar secara matematik, sehingga baginya itu hanya pemboleh ubah. Pengukuran eksperimental pertama G dilakukan oleh ahli fizik Britain Henry Cavendish dalam eksperimen yang dilakukan antara 1797 dan 1798, menggunakan keseimbangan kilasan untuk mengukur daya graviti antara dua berat di makmal. Namun, tujuan eksplisit Cavendish untuk eksperimen ini adalah untuk mengukur ketumpatan - dan oleh itu Jisim - Bumi dengan tepat, dan dia tidak pernah menyebut G dalam karyanya atau secara eksplisit memperoleh nilai untuknya. Seperti Newton, Cavendish mengemukakan masalahnya sehingga G membatalkannya secara matematik. Kami akan melakukan perkara yang sama di kelas ini, sebab itulah anda tidak perlu mengenali G secara operasi untuk masalah peperiksaan atau kerja rumah. Tidak lama kemudian (hampir 75 tahun kemudian) data eksperimennya digunakan oleh orang lain untuk memperoleh nilai untuk G. Tidak sampai akhir abad ke-19 para astronom perlu mengetahui G sehingga mereka dapat, antara lain benda, hitung ketumpatan benda langit seperti Bulan dan Matahari.]

Berapakah daya Bumi pada epal? F = GMbumi Mepal/ Rbumi 2

Apakah pecutan epal (Newton's 2nd Law of Motion): aepal = F / Mepal = GMbumi/ Rbumi 2 = 9.8 meter / saat 2 Perhatikan bahawa jisim epal (Mepal) telah membahagikan persamaan. Ini bermaksud bahawa pecutan kerana graviti adalah bebas jisim epal, seperti yang ditunjukkan Galileo sebelumnya.


Dua orbit badan berjisim sama - Astronomi

Asal-usul Astronomi Moden

Hukum Kepler mengenai Gerakan Planetari

  • Undang-undang Kepler Pertama: Planet mengorbit Matahari dengan elips dengan Matahari pada satu fokus.
  • Undang-undang Kepler ke-2: Garis khayalan dari Matahari ke planet ini menyapu kawasan yang sama pada masa yang sama.
  • Undang-undang Kepler ke-3: Kuadrat tempoh orbit planet berkadar dengan kubus paksi separa utama orbit (atauP 2 = ka 3 ).

Penting untuk menyedari bahawa undang-undang ke-2 dan ke-3 adalah kuantitatif, yang bermaksud bahawa seseorang dapat mengira jarak sebenar (paksi separa utama) dan kelajuan, dll., Menggunakannya. Untuk kes planet yang mengelilingi Matahari, misalnya, dengan P dalam tahun dan a dalam Unit Astronomi (AU), undang-undang ketiga menjadi: P 2 = a 3. Ini adalah remeh bagi Bumi - P = 1 tahun dan paksi separa utama a = 1 AU, tetapi kita juga dapat mengukur tempoh Venus ( P = 0.615 tahun), dan dapatkan jaraknya dari Matahari ( a = 0.723 AU). Kita akan melihat kemudian pemalarnya k ada dalam formula P 2 = ka 3, agar undang-undang Kepler ke-3 dapat diperluas ke orbit lain, seperti Bulan di sekitar Bumi.

Venus melintasi cakera Matahari pada 2004 Jun 08
(gambar diambil oleh Dale Gary)


Kandungan

Pernyataan matematik masalah tiga badan boleh diberikan dari segi persamaan gerakan Newton untuk kedudukan vektor r i = (x i, y i, z i) < displaystyle mathbf <>> = (x_, y_, z_)> tiga badan berinteraksi secara graviti dengan jisim m i < displaystyle m_> :

di mana G < displaystyle G> adalah pemalar graviti. [3] [4] Ini adalah sekumpulan 9 persamaan pembezaan urutan kedua. Masalahnya juga dapat dinyatakan secara setara dalam formalisme Hamilton, dalam hal ini dijelaskan oleh sekumpulan 18 persamaan pembezaan orde pertama, satu untuk setiap komponen kedudukan r i < displaystyle mathbf <>>> dan momentum p i < displaystyle mathbf <>> > :

Masalah tiga badan terhad Edit

Di dalam masalah tiga badan terhad, [3] badan jisim yang dapat diabaikan ("planetoid") bergerak di bawah pengaruh dua badan besar. Mempunyai jisim yang dapat diabaikan, daya yang diberikan oleh planetoid pada dua jisim besar dapat diabaikan, dan sistem dapat dianalisis dan oleh itu dapat dijelaskan dari segi gerakan dua badan. Biasanya gerakan dua badan ini diambil terdiri daripada orbit bulat di sekitar pusat jisim, dan planetoid dianggap bergerak dalam satah yang ditentukan oleh orbit bulat.

Masalah tiga badan terhad adalah lebih mudah untuk dianalisis secara teori daripada masalah penuh. Kepentingan praktikal juga kerana ia menggambarkan dengan tepat banyak masalah di dunia nyata, contoh yang paling penting ialah sistem Bumi – Bulan – Matahari. Atas sebab-sebab ini, ia memainkan peranan penting dalam perkembangan sejarah masalah tiga badan.

Penyelesaian umum Edit

Tidak ada penyelesaian umum bentuk tertutup untuk masalah tiga badan, [1] yang bermaksud tidak ada penyelesaian umum yang dapat dinyatakan dalam sebilangan bilangan operasi matematik standard. Lebih-lebih lagi, gerakan tiga badan umumnya tidak berulang, kecuali dalam kes-kes khas. [5]

Walau bagaimanapun, pada tahun 1912, ahli matematik Finland Karl Fritiof Sundman membuktikan bahawa terdapat penyelesaian analitik untuk masalah tiga badan dalam bentuk rangkaian kuasa dari segi kekuatan t 1/3. [6] Siri ini menyatukan untuk semua t nyata, kecuali untuk keadaan awal yang sepadan dengan momentum sudut sifar. Dalam praktiknya, sekatan terakhir tidak penting kerana keadaan awal dengan momentum sudut sifar jarang berlaku, dengan ukuran Lebesgue sifar.

Isu penting dalam membuktikan hasil ini adalah kenyataan bahawa jejari penumpuan untuk siri ini ditentukan oleh jarak ke singulariti terdekat. Oleh itu, adalah mustahak untuk mengkaji kemungkinan masalah tiga badan. Seperti yang akan dibincangkan secara ringkas di bawah, satu-satunya masalah dalam masalah tiga badan adalah perlanggaran binari (perlanggaran antara dua zarah dalam sekejap) dan perlanggaran tiga (perlanggaran antara tiga zarah dalam sekelip mata).

Perlanggaran, sama ada binari atau tiga (sebenarnya, bilangan apa pun), agak mustahil, kerana telah ditunjukkan bahawa ia sesuai dengan satu set syarat awal ukuran sifar. Walau bagaimanapun, tidak ada kriteria yang diketahui diletakkan pada keadaan awal untuk mengelakkan perlanggaran untuk penyelesaian yang sesuai. Jadi strategi Sundman terdiri dari langkah-langkah berikut:

  1. Menggunakan perubahan pemboleh ubah yang sesuai untuk terus menganalisis penyelesaian di luar perlanggaran binari, dalam proses yang dikenali sebagai regularisasi.
  2. Membuktikan bahawa perlanggaran tiga hanya berlaku ketika momentum sudut L lenyap. Dengan menghadkan data awal kepada L0 , dia membuang semua nyata singulariti dari persamaan yang diubah untuk masalah tiga badan.
  3. Menunjukkan bahawa jika L0 , maka bukan sahaja tidak boleh terjadi tiga perlanggaran tiga, tetapi sistem ini dilarang keras dari tiga kali perlanggaran. Ini menunjukkan, dengan menggunakan teorema kewujudan Cauchy untuk persamaan pembezaan, bahawa tidak ada satu-satunya yang kompleks dalam satu jalur (bergantung pada nilai L ) dalam pesawat kompleks yang berpusat di sekitar paksi sebenar (nuansa Kovalevskaya).
  4. Cari transformasi konformal yang memetakan jalur ini ke dalam cakera unit. Contohnya, jika s = t 1/3 (pemboleh ubah baru selepas regularisasi) dan jika | ln s | ≤ β , [penjelasan diperlukan] maka peta ini diberikan oleh

Ini menyelesaikan bukti teorem Sundman.

Malangnya, siri yang sesuai berkumpul dengan sangat perlahan. Maksudnya, memperoleh nilai ketepatan yang bermakna memerlukan begitu banyak istilah sehingga penyelesaian ini tidak banyak digunakan. Memang, pada tahun 1930, David Beloriszky mengira bahawa jika siri Sundman digunakan untuk pemerhatian astronomi, maka pengiraannya akan melibatkan sekurang-kurangnya 10 8 000 000 istilah. [7]

Penyelesaian kes khas Edit

Pada tahun 1767, Leonhard Euler menjumpai tiga keluarga penyelesaian berkala di mana ketiga-tiga jisim tersebut adalah collinear pada setiap saat. Lihat masalah tiga badan Euler.

Pada tahun 1772, Lagrange menemui sekumpulan penyelesaian di mana ketiga-tiga jisim membentuk segitiga sama sisi pada setiap saat. Bersama dengan penyelesaian collinear Euler, penyelesaian ini membentuk konfigurasi pusat untuk masalah tiga badan. Penyelesaian ini berlaku untuk sebarang nisbah jisim, dan jisim bergerak pada elips Keplerian. Keempat keluarga ini adalah satu-satunya penyelesaian yang diketahui yang mana terdapat formula analitik eksplisit. Dalam masalah khas masalah tiga badan lingkaran, larutan ini, yang dilihat dalam bingkai berputar dengan primer, menjadi titik yang disebut sebagai L1, L2, L3, L4, dan L5, dan disebut titik Lagrangian, dengan L4 dan L5 menjadi contoh simetri penyelesaian Lagrange.

Dalam karya yang diringkaskan pada tahun 1892-1899, Henri Poincaré membuktikan adanya sejumlah penyelesaian berkala yang tidak terbatas untuk masalah tiga badan yang dibatasi, bersama dengan teknik untuk meneruskan penyelesaian ini ke dalam masalah tiga badan umum.

Pada tahun 1893, Meissel menyatakan apa yang sekarang disebut masalah tiga badan Pythagoras: tiga jisim dalam nisbah 3: 4: 5 diletakkan pada keadaan rehat di bucu segitiga kanan 3: 4: 5. Burrau [8] menyiasat masalah ini dengan lebih lanjut pada tahun 1913. Pada tahun 1967 Victor Szebehely dan C. Frederick Peters akhirnya membuat jalan keluar untuk masalah ini menggunakan integrasi berangka, dan pada masa yang sama mencari penyelesaian berkala yang berdekatan. [9]

Pada tahun 1970-an, Michel Hénon dan Roger A. Broucke masing-masing menemui satu set penyelesaian yang menjadi sebahagian daripada keluarga penyelesaian yang sama: keluarga Broucke-Henon-Hadjidemetriou. Dalam keluarga ini ketiga-tiga objek mempunyai jisim yang sama dan dapat menunjukkan bentuk retrograde dan langsung. Dalam beberapa penyelesaian Broucke, dua badan mengikuti jalan yang sama. [10]

Pada tahun 1993, penyelesaian momentum sudut sifar dengan tiga jisim sama bergerak di sekitar bentuk angka-lapan ditemui secara berangka oleh ahli fizik Cris Moore di Institut Santa Fe. [12] Kewujudannya secara formal kemudian dibuktikan pada tahun 2000 oleh ahli matematik Alain Chenciner dan Richard Montgomery. [13] [14] Penyelesaian telah ditunjukkan secara numerik sebagai stabil untuk gangguan kecil dari parameter jisim dan orbit, yang menimbulkan kemungkinan menarik bahawa orbit seperti itu dapat diamati di alam semesta fizikal. Namun, telah dikatakan bahawa kejadian ini tidak mungkin berlaku kerana domain kestabilannya kecil. Contohnya, kebarangkalian peristiwa penyerakan binari-binari [ penjelasan diperlukan ] menghasilkan orbit angka-8 telah dianggarkan sebagai pecahan kecil 1%. [15]

Pada tahun 2013, ahli fizik Milovan Šuvakov dan Veljko Dmitrašinović di Institut Fizik di Belgrade menemui 13 keluarga baru penyelesaian untuk masalah tiga badan dengan jisim-sudut-momentum jisim sama. [5] [10]

Pada tahun 2015, ahli fizik Ana Hudomal menemui 14 keluarga baru penyelesaian untuk masalah tiga badan dengan jisim-sudut-momentum sama-jisim. [16]

Pada tahun 2017, penyelidik Xiaoming Li dan Shijun Liao menemui 669 orbit berkala baru dengan masalah tiga badan dengan jisim-sudut-momentum jisim sama. [17] Ini diikuti pada tahun 2018 oleh tambahan 1223 penyelesaian baru untuk sistem momentum sifar dengan massa yang tidak sama. [18]

Pada tahun 2018, Li dan Liao melaporkan 234 penyelesaian untuk masalah tiga badan "jatuhan bebas" yang tidak sama. [19] Rumusan jatuh bebas dari tiga masalah badan bermula dengan ketiga-tiga badan dalam keadaan rehat. Oleh kerana itu, massa dalam konfigurasi jatuh bebas tidak mengorbit dalam "gelung" tertutup, tetapi bergerak ke depan dan ke belakang di sepanjang "trek" terbuka.

Pendekatan berangka Edit

Dengan menggunakan komputer, masalahnya dapat diselesaikan dengan ketepatan tinggi sewenang-wenangnya menggunakan integrasi berangka walaupun ketepatan tinggi memerlukan sejumlah besar waktu CPU.

Masalah graviti tiga badan dalam pengertian tradisionalnya bermula dari tahun 1687, ketika Isaac Newton menerbitkannya Principia (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica). Dalam Cadangan 66 Buku 1 Principia, dan 22 Corollaries, Newton mengambil langkah pertama dalam definisi dan kajian masalah pergerakan tiga badan besar yang bergantung kepada tarikan graviti mereka yang saling mengganggu. Dalam Proposisi 25 hingga 35 dari Buku 3, Newton juga mengambil langkah pertama dalam menerapkan hasilnya dari Proposisi 66 pada teori lunar, pergerakan Bulan di bawah pengaruh graviti Bumi dan Matahari.

Masalah fizikal ditangani oleh Amerigo Vespucci dan kemudian oleh Galileo Galilei pada tahun 1499, Vespucci menggunakan pengetahuan tentang kedudukan Bulan untuk menentukan kedudukannya di Brazil. Ini menjadi kepentingan teknikal pada tahun 1720-an, kerana penyelesaian yang tepat dapat digunakan untuk navigasi, khususnya untuk penentuan garis bujur di laut, yang diselesaikan secara praktik oleh penemuan kronometer marin John Harrison. Walau bagaimanapun, ketepatan teori bulan rendah, disebabkan oleh kesan mengganggu Matahari dan planet-planet pada pergerakan Bulan di sekitar Bumi.

Jean le Rond d'Alembert dan Alexis Clairaut, yang mengembangkan persaingan lama, kedua-duanya berusaha untuk menganalisis masalah dalam beberapa tahap keaslian mereka mengemukakan analisis pertama mereka yang bersaing ke Académie Royale des Sciences pada tahun 1747. [20] Itu berkaitan penyelidikan mereka, di Paris pada tahun 1740-an, bahawa nama "masalah tiga badan" (Perancis: Problème des trois Corps) mula biasa digunakan. Akaun yang diterbitkan pada tahun 1761 oleh Jean le Rond d'Alembert menunjukkan bahawa nama itu pertama kali digunakan pada tahun 1747. [21]

Pada tahun 2019, Breen et al. mengumumkan pemecah rangkaian neural yang pantas, dilatih menggunakan integrator berangka. [22]

Istilah 'masalah tiga badan' kadang-kadang digunakan dalam pengertian yang lebih umum untuk merujuk kepada sebarang masalah fizikal yang melibatkan interaksi tiga badan.

Analog mekanikal kuantum masalah tiga badan graviti dalam mekanik klasik ialah atom helium, di mana inti helium dan dua elektron berinteraksi mengikut interaksi Coulomb segi empat terbalik. Seperti masalah tiga badan graviti, atom helium tidak dapat diselesaikan dengan tepat. [23]

Dalam mekanik klasik dan kuantum, bagaimanapun, ada undang-undang interaksi non-privasi selain kekuatan kuadrat terbalik yang membawa kepada penyelesaian tiga badan analitik yang tepat. Salah satu model tersebut terdiri daripada gabungan daya tarikan harmonik dan daya kubus terbalik yang menjijikkan. [24] Model ini dianggap tidak remeh kerana dikaitkan dengan sekumpulan persamaan pembezaan tidak linear yang mengandungi singulariti (dibandingkan dengan, misalnya, interaksi harmonik sahaja, yang membawa kepada sistem persamaan pembezaan linear yang mudah diselesaikan). Dalam dua aspek ini, ia serupa dengan model (tidak larut) yang mempunyai interaksi Coulomb, dan sebagai hasilnya telah disarankan sebagai alat untuk memahami sistem fizikal secara intuitif seperti atom helium. [24] [25]

Masalah tiga badan graviti juga telah dikaji dengan menggunakan relativiti umum. Secara fizikal, rawatan relativistik diperlukan dalam sistem dengan medan graviti yang sangat kuat, seperti di dekat cakrawala kejadian lubang hitam. Walau bagaimanapun, masalah relativistik jauh lebih sukar daripada pada mekanik Newton, dan teknik numerik yang canggih diperlukan. Bahkan masalah dua badan penuh (iaitu untuk nisbah jisim sewenang-wenangnya) tidak mempunyai penyelesaian analitik yang ketat dalam relativiti umum. [26]

Masalah tiga badan adalah kes khas dari masalah n-badan, yang menerangkan bagaimana objek n akan bergerak di bawah salah satu daya fizikal, seperti graviti. Masalah-masalah ini mempunyai penyelesaian analitik global dalam bentuk siri kuasa yang dapat disatukan, seperti yang dibuktikan oleh Karl F. Sundman untuk n = 3 dan oleh Qiudong Wang untuk n & gt 3 (lihat masalah n-orang untuk perincian). Walau bagaimanapun, siri Sundman dan Wang berkumpul dengan perlahan sehingga tidak berguna untuk tujuan praktikal [27] oleh itu, pada masa ini adalah perlu untuk menghampiri penyelesaian dengan analisis berangka dalam bentuk penyatuan berangka atau, untuk beberapa kes, perkiraan siri trigonometri klasik (lihat simulasi n -body). Sistem atom, mis. atom, ion, dan molekul, dapat dirawat dari segi masalah n-badan kuantum. Di antara sistem fizikal klasik, masalah n-badan biasanya merujuk pada galaksi atau sekumpulan sistem planet galaksi, seperti bintang, planet, dan satelitnya, juga dapat dianggap sebagai sistem n-badan. Beberapa aplikasi diperlakukan dengan mudah oleh teori gangguan, di mana sistem ini dianggap sebagai masalah dua badan ditambah kekuatan tambahan yang menyebabkan penyimpangan dari lintasan dua badan hipotetis yang tidak terganggu.

Jilid pertama pengarang Cina Liu Cixin's Peringatan Masa Lalu Bumi trilogi bertajuk Masalah Tiga Badan dan menampilkan masalah tiga badan sebagai alat plot pusat. [28]


Jawapan dan Jawapan

Baiklah, D. Tong menganggap bahawa beberapa butiran penting diketahui. Anda mempunyai dua zarah berjisim ## m_1, m_2 ## dan vektor koordinat yang menerangkan kedudukan sesaat mereka dalam bingkai makmal ## bf(t), bf(t) ##. Potensi elektrostatik / gravitostatik 2 badan ialah ## V ( vert bf_1 - bf_2 vert) ##.
Kemudian, untuk menyelesaikan sistem gabungan 6 ODE dari undang-undang kedua Newton yang digunakan untuk setiap zarah, anda perlu membuat apa yang disebut & quotpemisahan pergerakan& quot ke gerakan CoM dan gerakan zarah maya jisim berkurang di sekitar CoM. Mereka, untuk kesederhanaan, kerana CoM adalah IRF, anda mengalihkan keterangan dari sistem makmal ke sistem CoM dan sistem 6 ODE yang digabungkan semula menjadi ODE yang tidak berpasangan.

Lebih banyak untuk dibaca di sini: https://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem#Reduction_to_two_independent,_one-body_problems (dari atas kepala saya, saya tidak dapat menentukan buku teks mekanik klasik yang memberikan semua perincian dan pengiraan yang mungkin).

Edit kemudian: Di bawah ini seseorang mendapat rawatan penuh oleh pengguna vanhees71, jadi tidak perlu mencarinya dalam buku teks mekanik klasik.

Apabila ## r = 0 ##, pemisahan jisim adalah ## 0 ##, yang bermaksud jisim berada di tempat yang sama, iaitu COM biasa.

Dalam senario orbit ## r = 0 ## tidak pernah berlaku. Ia hanya berlaku dalam perlanggaran langsung.

Ini adalah helah matematik, pada dasarnya. Ternyata jalan jisim ## m_1 ## dalam sistem dua badan sama dengan jisim ## m_1m_2 / (m_1 + m_2) ## di orbit sekitar jisim ## m_1 + m_2 ## disematkan (don jangan tanya apa itu disematkan) di pusat jisim. Itu sistem yang jauh lebih mudah untuk dikendalikan secara matematik.

Saya belum melihat catatan Tong, tetapi artikel Wiki yang dipautkan di atas membuktikan hasilnya.

Saya rasa saya keliru antara 2 jisim sebenar dan jisim & quotimaginary & quot dengan jisim berkurang. Apabila saya tiba di persamaan orbit

di mana ε adalah eksentrisiti orbit yang saya anggap r adalah jarak dari COM yang terletak di fokus elips ke salah satu jisim? Ini bermaksud bahawa dalam kes umum di mana COM tidak terletak pada salah satu jisim, r dalam persamaan orbit bukanlah jarak antara 2 massa. Adakah itu betul?

Itu betul: r dalam persamaan orbit untuk m1 adalah jarak antara m1 dan CoM.

Edit: ini tidak betul untuk kaedah jisim berkurang seperti yang dinyatakan oleh OP di bawah

Dalam model paling mudah sistem suria Matahari terpaku di tengahnya. Pada tahap kerumitan seterusnya, Matahari bergerak kira-kira diameternya, dari pengaruh planet lain, yang paling ketara adalah Musytari.

Bagaimanapun, sebenarnya Bumi-Matahari bukanlah masalah dua badan yang terpencil.

Lebih-lebih lagi, model alternatifnya ialah Matahari mengorbit Bumi setiap hari, bukan setiap tahun, kerana putaran Bumi.

Mari selesaikan persamaan. Itu lebih mudah daripada banyak teks!

Persamaan gerakan untuk Matahari (kedudukan ## vec_1 ##) dan Planet (kedudukan ## vec_2 ##) adalah
$
bermula
m_1 ddot < vec> _1 & amp = - frac<| vec_1- vec_2 | ^ 3> ( vec_1- vec_2),\
m_2 ddot < vec> _2 & amp = - frac<| vec_1- vec_2 | ^ 3> ( vec_2- vec_1)
akhir$
Menambah kedua persamaan membawa kepada
$ M ddot < vec>=0$
dengan
$ vec= frac <1> (m_1 vec_1 + m_2 vec_2), quad M = m_1 + m_2. $
Mengalikan EoM ke-2. dengan ## m_1 / M ## dan yang pertama dengan ## m_2 / M ## dan mengurangkan kedua persamaan membawa kepada
$ mu ddot < vec> = - frac vec,$
di mana
$ mu = frac, quad vec= vec_2- vec_1.$
Oleh itu, kita telah mengurangkan persamaan gerakan untuk masalah dua badan menjadi persamaan gerakan untuk pusat jisimnya, yang bergerak dengan halaju malar, dan persamaan gerakan untuk satu partikel dengan jisim ## mu ## (& quot; massa & quot; ) dengan daya yang diberikan oleh interaksi graviti antara Matahari dan planet. Kita boleh memilih kerangka rujukan inersia kita agar tetap dalam keadaan rehat dan dengan itu ## vec= vec <0> = teks## adalah asal-usul kerangka rujukan inersia baru ini.


9: Masalah Dua Badan dalam Dua Dimensi

  • Disumbang oleh Jeremy Tatum
  • Profesor Emeritus (Fizik & Astronomi) di University of Victoria

Dalam bab ini kita menunjukkan bagaimana undang-undang Kepler & rsquos dapat diturunkan dari undang-undang gerakan dan gravitasi Newton & rsquos, dan pemuliharaan momentum sudut, dan kami memperoleh formula untuk momentum tenaga dan sudut dalam orbit. Kami juga menunjukkan cara mengira kedudukan planet di orbitnya sebagai fungsi masa. Adalah bodoh untuk memulakan bab ini tanpa mengenal banyak bahan yang dibahas dalam Bab 2. Perbincangan di sini terhad kepada dua dimensi. Masalah yang sesuai dalam tiga dimensi, dan cara mengira ephemeris planet atau komet di langit, akan diselesaikan dalam Bab 10.

  • 9.1: Hukum Kepler Hukum Kepler & rsquos gerakan planet adalah seperti berikut: 1. Setiap planet bergerak mengelilingi Matahari dalam orbit yang merupakan elips dengan Matahari pada fokus. 2. Vektor jejari dari Matahari ke planet menyapu kawasan yang sama dalam masa yang sama. 3. Kuadrat bagi tempoh planet berkadar dengan kiub paksi separa utama mereka.
  • 9.2: Undang-undang Kedua Kepler dari Konservasi Momentum Sudut Undang-undang kedua Kepler. yang berpendapat bahawa garis yang bergabung dengan planet dan Matahari menyapu kawasan yang sama pada selang waktu yang sama, dapat berasal dari pemeliharaan momentum sudut.
  • 9.3: Beberapa Fungsi Misa
  • 9.4: Hukum Kepler Pertama dan Ketiga dari Hukum Gravitasi Newton
  • 9.5: Kedudukan dalam Orbit Elips
  • 9.6: Kedudukan di Orbit Parabola Apabila komet & ldquolong-period & rdquo masuk dari tali pinggang Oort, biasanya terdapat pada orbit yang sangat eksentrik, yang mana kita dapat melihat busur yang sangat pendek sahaja. Oleh itu, seringkali mustahil untuk menentukan jangka masa atau paksi separa utama dengan tahap kebolehpercayaan apa pun atau membezakan orbit dari parabola. Oleh itu, sering kali perlu memahami dinamika orbit parabola.
  • 9.7: Kedudukan di Orbit Hiperbola Jika komet antara bintang menemui sistem suria dari ruang antara bintang, ia akan mengejar orbit hiperbolik di sekitar Matahari. Sehingga kini, tidak ada komet dengan orbit hiperbolik yang asli, walaupun tidak ada sebab tertentu mengapa kita tidak menjumpainya pada suatu malam. Walau bagaimanapun, komet dengan orbit hampir parabola dari tali pinggang Oort mungkin mendekati Musytari dalam perjalanan ke sistem suria dalaman, dan orbitnya mungkin terganggu ke orbit hiperbolik.
  • 9.8: Unsur Orbital dan Velocity Velocity Dalam dua dimensi, orbit dapat ditentukan sepenuhnya oleh empat elemen orbit. Tiga daripadanya memberikan ukuran, bentuk dan orientasi orbit. Mereka, masing-masing, a, e dan & omega. Elemen keempat diperlukan untuk memberikan maklumat mengenai di mana planet ini berada di orbitnya pada waktu tertentu. Biasanya ini adalah T, masa perihelion berlalu.
  • 9.9: Elemen Menghitung Dalam praktiknya, orbit mengalami gangguan, dan planet ini tidak bergerak tanpa batas di orbit yang dihitung dari vektor kedudukan dan halaju pada waktu tertentu. Orbit yang dihitung dari vektor kedudukan dan halaju pada waktu tertentu disebut orbit pengaut, dan unsur orbit yang sesuai adalah unsur pengaut.
  • 9.10: Jarak Purata di Orbit Elips Kadang-kadang dikatakan bahawa & ldquo a & rdquo di orbit elips adalah & ldquomean jarak & rdquo planet dari Matahari. Sebenarnya a adalah paksi separuh utama orbit. Sama ada dan apakah rasanya juga jarak & ldquomean & rdquo bernilai sejenak pemikiran.

Tuhmbnail: Dua badan dengan jisim serupa mengorbit pusat bari yang biasa di luar kedua badan, dengan orbit elips & mdashtypical bintang binari. (Domain Awam, Zhatt).


9.5: Kedudukan di Orbit Elips

  • Disumbang oleh Jeremy Tatum
  • Profesor Emeritus (Fizik & Astronomi) di University of Victoria

Pembaca mungkin ingin merujuk kembali ke Bahagian 2.3, terutamanya bahagian yang berkaitan dengan Persamaan kutub dengan elips, untuk diingatkan tentang makna sudut (& theta ), (& omega ) dan (v ) , yang, dalam konteks astronomi, masing-masing disebut sebagai hujah garis lintang, hujah perihelion dan juga anomali benar. Dalam bahagian ini saya akan memilih garis awal koordinat kutub bertepatan dengan paksi utama elips, sehingga (& omega ) adalah sifar dan (& theta = v ). Persamaan dengan elips adalah ketika itu


( teks

)

Saya & rsquoll menganggap bahawa planet berada di perihelion pada masa (t = T ), dan tujuan bahagian ini adalah untuk mencari (v ) sebagai fungsi (t ). Paksi separa utama elips adalah (a ), berkaitan dengan rektum separa latus oleh

dan tempoh diberikan oleh

Di sini planet dengan jisim (m ) seharusnya berada di orbit mengelilingi Matahari berjisim (M ), dan asal, atau kutub, koordinat kutub yang dijelaskan oleh Persamaan ref <9.6.1> adalah Matahari, bukannya pusat jisim sistem. Seperti biasa, ( textbf = M + m ).

Vektor radius dari Matahari ke planet tidak bergerak dengan kelajuan tetap (memang undang-undang kedua Kepler & rsquos menyatakan bagaimana ia bergerak), tetapi kita dapat mengatakan bahawa, melalui orbit yang lengkap, ia bergerak pada rata-rata kelajuan sudut (2 & pi / P ). Sudut ( frac <2 & pi>

(t-T) ) dipanggil bermaksud anomali planet pada satu masa (t & tolak T ) selepas laluan perihelion. Umumnya dilambangkan dengan huruf ( teks), yang sudah terlalu banyak dikerjakan dalam bab ini untuk pelbagai massa dan fungsi massa. Untuk anomali bermaksud, saya & rsquoll cuba fon ini: ( mathcal). Oleh itu

Langkah pertama dalam usaha kita untuk mencari (v ) sebagai fungsi (t ) adalah mengira anomali eksentrik (E ) dari anomali min. Ini ditakrifkan dalam rajah ( teks) dari Bab 2, dan ia diterbitkan di bawah sebagai gambar ( teks).

Dalam masa (t & tolak T ), kawasan yang disapu oleh vektor jejari adalah kawasan ( teks), dan, kerana vektor jejari menyapu kawasan yang sama pada masa yang sama, kawasan ini sama dengan pecahan ((t & minusT) / P ) dari kawasan elips. Dengan kata lain, kawasan ini adalah ( frac <(t-T) & pi a b>

). Sekarang lihat kawasan ( teks^ perdana ). Setiap ordinat kawasan itu sama dengan (a / b ) kali ordinat yang sesuai dari ( teks), dan oleh itu kawasan ( teks^ prime ) ialah ( frac <(t-T) & pi a ^ 2>

). Kawasan ( teks^ prime ) juga sama dengan sektor ( teks^ perdana teks) tolak segitiga ( teks^ perdana teks). Kawasan sektor ( teks^ perdana teks) adalah ( frac <2 & pi> times & pi a ^ 2 = frac <1> <2> Ea ^ 2 ), dan luas segitiga ( teks^ perdana teks) adalah ( frac <1> <2> a e times a sin E = frac <1> <2> a ^ 2 e sin E ).

[ Oleh itu frac <(t-T) & pi a ^ 2>

= frac <1> <2> E a ^ 2 - frac <1> <2> a ^ 2 e sin E. ]


( teks

)

Gandakan kedua-dua sisi dengan (2 / a ^ 2 ), dan ingat Persamaan ref <9.6.4>, dan kami sampai pada hubungan yang diperlukan antara anomali min ( mathcal) dan anomali eksentrik (E ):

[ mathcal = E - e sin E. label <9.6.5> tag <9.6.5> ]

Langkah pertama adalah dengan mengira anomali min ( mathcal) dari Persamaan ref <9.6.4>, dan kemudian hitung anomali eksentrik (E ) dari Persamaan ref <9.6.5>. Ini adalah Persamaan transendental, jadi saya & rsquoll mengucapkan satu atau dua perkataan tentang menyelesaikannya dalam sekejap, tetapi biarkan & rsquos terus buat sementara waktu. Kita sekarang mesti mengira anomali sebenar (v ) dari anomali eksentrik. Ini dilakukan dari geometri elips, tanpa dinamik, dan hubungannya diberikan dalam Bab 2, Persamaan 2.3.16 dan 2.3.17c, yang direproduksi di sini:

Dari identiti trigonometri, ini juga boleh ditulis

Sekiranya kita dapat menyelesaikan Persamaan ref <9.6.5> (Kepler & rsquos Equation), kita pasti telah melakukan apa yang kita mahukan & ndash iaitu, mencari anomali yang sebenarnya sebagai fungsi masa itu.

Penyelesaian Kepler & rsquos Equation sebenarnya sangat mudah. Kami menulisnya sebagai

[f (E) = E - e sin E - mathcal label <9.6.6> tag <9.6.6> ]

dari mana [f ^ prime (E) = 1 - e cos E, label <9.6.7> tag <9.6.7> ]

dan kemudian, dengan proses Newton-Raphson yang biasa:

Pengiraannya kemudian sangat cepat (terutamanya jika anda menyimpan kos E dan jangan mengira dua kali!).

Katakan (e = 0.95 ) dan itu (M = 245 ^ circ ). Kira (E ). Oleh kerana eksentrisitas sangat besar, seseorang mungkin menjangkakan penumpuannya perlahan, dan juga (E ) kemungkinan sangat berbeza dengan ( mathcal), so it is not easy to make a first guess for (E). You might as well try (245^circ) for a first guess for (E). You should find that it converges to ten significant figures in a mere four iterations. Even if you make a mindlessly stupid first guess of (E = 0^circ), it converges to ten significant figures in only nine iterations.

There are a few exceptional occasions, hardly ever encountered in practice, and only for eccentricities greater than about (0.99), when the Newton-Raphson method will not converge when you make your first guess for (E) equal to (mathcal). Charles and Tatum (Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 69, 357 (1998)) have shown that the Newton-Raphson method will always converge if you make your first guess (E = &pi). Nevertheless, the situations where Newton-Raphson will not converge with a first guess of (E = mathcal) are unlikely to be encountered except in almost parabolic orbits, and usually a first guess of (E = mathcal) is faster than a first guess of (E = &pi). &Tauhe chaotic behaviour of Kepler&rsquos Equation on these exceptional occasions is discussed in the above paper and also by Stumpf (Cel. Mechs. and Dyn. Astron. 74, 95 (1999)) and references therein.

Show that a good first guess for (E) is

Write a computer program in the language of your choice for solving Kepler&rsquos Equation. The program should accept (e) and (mathcal) as input, and return (E) as output. The Newton-Raphson iteration should be terminated when (|(E_< ext> &minus E_< ext>) / E_< ext>) is less than some small fraction to be determined by you.

An asteroid is moving in an elliptic orbit of semi major axis (3 ext) and eccentricity 0.6. It is at perihelion at time = 0. Calculate its distance from the Sun and its true anomaly one sidereal year later. You may take the mass of the asteroid and the mass of Earth to be negligible compared with the mass of the Sun. In that case, Equation ef <9.6.3>is merely

where (M) is the mass of the Sun, and, if (P) is expressed in sidereal years and (a) in ( ext), this becomes just (P^2 = a^3). Thus you can immediately calculate the period in years and hence, from Equation ef <9.6.4>you can find the mean anomaly. From there, you have to solve Kepler&rsquos Equation to get the eccentric anomaly, and the true anomaly from Equation 2.3.16 or 17. Just make sure that you get the quadrant right.

Write a computer program that will give you the true anomaly and heliocentric distance as a function of time since perihelion passage for an asteroid whose elliptic orbit is characterized by (a), (e). Run the program for the asteroid of the previous exercise for every day for a complete period.


Deriving Kepler's Formula for Binary Stars

Your astronomy book goes through a detailed derivation of the equation to find the mass of a star in a binary system. But first, it says, you need to derive Kepler's Third Law.

Consider two bodies in circular orbits about each other, with masses m1 and m2 and separated by a distance, a. The diagram below, shows the two bodies at their maximum separation. The distance between the center of mass and m1 ialah1 and between the center of mass and m2 ialah1.

Diagram showing two bodies in circular orbits about their center of mass.

The two bodies with their full orbits.

Detail of the center of mass and the relationship between the measurements of a, a1 dan a2

The center of mass is defined by:

Which can be solved for a1:

And, the total separation can be written as:

Using Equation (1) in Equation (2) gives

Now, set that aside for a moment and look at the forces working on m2. The forces acting on the mass are the gravitational force and centripetal acceleration from its orbital motion.

where G is the gravitational constant and &omega is the angular acceleration. Equating these gives:

Now, using Equation (3) to substitute for a2 gives:

We can replace &omega using the fact that P=2&pi/&omega by definition. Jadi,

Canceling, rearranging, and gathering the unknowns to the left side of the equation gives Kepler's Third Law.

For a distant binary system, it is be difficult to determine the separation of the two stars in the binary system, a. However, using spectroscopy, it might be possible to find the velocity of one or both of the stars in the system.

If we assume a circular orbit, we know that:

Using those, in Equation (2):

Then substituting Equation (5) in Equation (4),

Rearranging and canceling gives:

If we could see both stars in the binary system, this equation would work fine. However, there are times when we can only see one – for example, if there is a star in orbit with a black hole. For a circular orbit, we have:

Replacing this for v2 in Equation (6) gives:

Gathering the masses to one side gives:

One last thing about the velocity in this equation. When we observe a system, it is usually at an angle with respect to us. That means that we need to account for that in the above equation. The observed velocity is related to by orbital velocity by:

where vobs is the observed velocity and i is the angle of inclination of the system with respect to us. Substituting this into Equation (7), we finally get:

Whew. (Your textbook didn't say, "whew", but it could have!)

Now you are ready to use this equation.

Return to using this approach to solve the problem

Return to the beginning and try another approach


A REPORT ON SOME FEW-BODY PROBLEMS IN ATOMIC PHYSICS*

CHANNEL COUPLING ARRAY THEORY

The two-body problem can today be thought of as “solvable”. That is not quite the case for many three-body problems and it is anything but the case for almost all four-body problems. New formal and computational approaches are therefore to be welcomed.

Considerable formal progress was made with the introduction of the Faddeev equations. In these equations, the full wavefunction is “partitioned” into components, related to the pair of particles which interact first for other than atomic physics with its Coulomb potentials, the equations can be extremely helpful in studies of existence and convergence questions, but computationally they have perhaps not quite lived up to their original promise.

Some results using different but still interesting sets of partitions were reported on in two mini-invited paper at this conference, by Levin and by Kouri. The channel coupling array approach can be applied to bound state and to continuum problems, and can be formulated as coupled differential or integral equations further, as already noted, many different partitions are possible. To begin, we consider the determination of the energy E of the spatially symmetric ground state of a pair of electrons, numbered 1 and 2, in the field of a proton. We study the coupled equations for the channel components ψ1(r1, r2) and ψ2(r1, r2),

and where the K′s are kinetic energy operators. Note that the full Hamiltonian can be written as

Adding the coupled equations immediately gives

it follows that the coupled equations reduce to the Schrodinger equation, for both bound state and scattering problems. (It does not follow from the above discussion that the solutions ψ1 and ψ2 are unique, nor even everywhere finite)

The channel coupling array theory, in integral equation form, had been applied previously to low energy electron-hydrogen atom scattering, with reasonable success. The conference report by Levin contains some results for the same scattering problem obtained with the coupled differential equations above the results were neither much better nor much worse than those obtained by more standard approaches. The report also contains some bound state calculations the bound state area is one to which the theory has only recently been applied. The first bound state result is the binding energy of H − . In my opinion, the result is not very impressive. On the other hand, the results of the determination of the energy E(R) of an electron in the field of two protons fixed at a separation R, and of the equilibrium position, are quite impressive. These results are obtained from the coupled equations given above, with H1, H2, V1 and V2 redefined. The details are in Levin's report.

Not many results have been obtained thus far, and one cannot yet pinpoint the problems for which the approach can be expected to be particularly useful. While waiting for further results, it may be worthwhile to look at ψ1 and ψ2 in slightly more detail. Levin and his co-workers interpret ψ1 and ψ2 for scattering and bound state problems) in terms of the asymptotic behavior in different channels. With the understanding that I have had no time to consider this particular point, let me consider a slightly different viewpoint for bound state problems. Considering again two electrons in the field of a proton, in the spatially symmetric ground state, we begin by noting that ψ1 = ψ2 = 1/2 ψ does tidak represent a solution of the coupled equations. Rather, since ψ(1,2) = ψ(2,1), it follows that ψ1 and ψ2 can be written as

where Ω(1, 2) = -ω(2,1). In assessing the merits of the approach, it should be brone in mind that it requires the estimation not only of ψ but of Ω. Only if the additional effort involved in estimating Ω is more than compensated for by the accuracy achieved can the approach be considered useful. Hopefully, the Ω might somehow build in some of the more relevant dynamics. On inserting the expressions for ψ1 and ψ2 in terms of ψ and ω into the coupled equations, and subtracting one from the other, Ω is found to satisfy

This equation may possibly help in the interpretation of the physical significance of ω(1,2).

Note too that the coupled equations can be cast in matrix form, ( H ˜ − E 1 ˜ ) ψ → = 0 , where the column vector ψ → has elements ψ1 and ψ2, and where the matrix H ˜ is not Hermitean. This need not be a source of real difficulty, but one must formulate the calculational procedure appropriately if the variational principles for the energy and for scattering parameters are to be preserved.

Apart from its possible numerical use, the theory offers an alternative approach in the formal introduction of exchange effects. Tobocoman recently used the approach, in conjunction with the Feshbach projection operator technique, to obtain exchange effects in the theory of radiative decay.

Many aspects of scattering theory are being reexamined within the context of the channel coupling array theory. In a paper at the conference, Kouri and Goldflam derived a new form for the optical potential U ˜ α for a model problem in which only two arrangements, α and β, are present. Thus, the leading term in U ˜ α is given by PVα Gβ + VβP, where Gβ is a Green's function and P is a projection operator onto the elastic scattering state this is as opposed to the leading term PVαP in Feshbach's approach. The new form of the leading term thus has more built into it in particular, it is energy dependent and implies the opening of the second channel at the appropriate energy. Many numerical calculations will have to be made before one will know the advantages which can be extracted by utilizing the freedom available in the channel coupling array approach, but the approach does allow large numbers of (equivalent) starting points, and different starting points suggest and allow different approximations with different resultant accuracy. Thus, for example, the above form U ˜ α gives a connection between channels α and β, a connection more difficult to obtain in the Feshbach approach.


9.1: Kepler's Laws

  • Disumbang oleh Jeremy Tatum
  • Profesor Emeritus (Fizik & Astronomi) di University of Victoria

Kepler&rsquos law of planetary motion (the first two announced in 1609, the third in 1619) are as follows:

1. Every planet moves around the Sun in an orbit that is an ellipse with the Sun at a focus.
2. The radius vector from Sun to planet sweeps out equal areas in equal times.
3. The squares of the periods of the planets are proportional to the cubes of their semi major axes.

The first law is a consequence of the inverse square law of gravitation. An inverse square law of attraction will actually result in a path that is a conic section &ndash that is, an ellipse, a parabola or a hyperbola, although only an ellipse, of course, is a closed orbit. An inverse square law of repulsion (for example, (&alpha)-particles being deflected by gold nuclei in the famous Geiger-Marsden experiment) will result in a hyperbolic path. An attractive force that is directly proportional to the first power of the distance also results in an elliptical path (a Lissajous ellipse) - for example a mass whirled at the end of a Hooke&rsquos law elastic spring - but in that case the centre of attraction is at the centre of the ellipse, rather than at a focus.

We shall derive, in Section 9.5, Kepler&rsquos first and third laws from an assumed inverse square law of attraction. The problem facing Newton was the opposite: Starting from Kepler&rsquos laws, what is the law of attraction governing the motions of the planets? To start with, he had to invent the differential and integral calculus. This is a far cry from the popular notion that he &ldquodiscovered&rdquo gravity by seeing an apple fall from a tree.

The second law is a consequence of conservation of angular momentum, and would be valid for any law of attraction (or repulsion) as long as the force was entirely radial with no transverse component. We derive it in Section 9.3.

Although a full treatment of the first and third laws awaits Section 9.5, the third law is trivially easy to derive in the case of a circular orbit. For example, if we suppose that a planet of mass (m) is in a circular orbit of radius (a) around a Sun of mass (M), (M) being supposed to be so much larger than (m) that the Sun can be regarded as stationary, we can just equate the product of mass and centripetal acceleration of the planet, (ma&omega^2), to the gravitational force between planet and Sun, (GMm/a^2) and, with the period being given by (P = 2&pi/&omega), we immediately obtain the third law:

The reader might like to show that, if the mass of the Sun is not so high that the Sun&rsquos motion can be neglected, and that planet and Sun move in circular orbits around their mutual centre of mass, the period is

Here (a) is the distance between Sun and planet.

Express the period in terms of (a_1), the radius of the planet&rsquos circular orbit around the centre of mass.


Tonton videonya: 2 5 Momentum bahagian 3 (Disember 2022).